(a+b^3)/(ab)が整数となる整数a,bを全て求める
2015年ヨーロッパ数学オリンピック日本代表一次選抜試験より
久々に更新してみる。
twitterをのぞいてみたら、整数問題botの問題が目に入った。試しに解いてみたところ、読後感ならぬ解後感(?)が結構よかったので紹介してみたい。
下の問題である。
[171](a+b³)/(ab)が整数となるような正の整数の組(a,b)をすべて求めよ(2015年ヨーロッパ女子数学オリンピック日本代表一次選抜試験1、3分問題)
— 整数問題bot (@seisu_bot) 2018年7月16日
3分問題ということで、カップラーメンが出来上がるのを待っている間に解けるらしい。お手軽そうなのでやってみた。時間は測らなかったが、だいたい5分くらいで解けたような気がする。ちょっとした頭のストレッチになるので、挑戦したい人は以下の解答を見る前に自分でやってみてほしい。
解答
がで割り切れることから、はある正の整数を用いて、
と書ける。*1これを問題の式に代入すると、
となる。ここで気づくのが、元の問題の分子に表れていたの指数がに下がっていることだ。さらに、問題の式の形はこの指数の部分を除いて、変わっていない。 そんなわけだから、この置き換えを繰り返し行えば、指数をどんどん減らしていけそうだ。
と置き換えると、*2
と置き換えると、*3
……(☆)
となり、分子のは指数がになってしまい、ついに消えてしまった。
問題の式が整数となるためには、分子の値は分母の値より、大きくないといけない。よって、
……(♪)
なので、この式が成り立つためには、またはでなければならない。
①のとき、
不等式(♪)より、なので、
との値がと求まる。このとき、
となり、確かに整数になる。
②のとき、
問題の式の値を、正の整数とおくと、(☆)式より、
この式を変形して、
この式を満たす正の整数の組は明らかに、のみである。
よって、
となり、である。このとき、問題の式の値はとなる。
以上をまとめて、求める正の整数の組は、
の2つだけである■