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為替レートは乱数で再現可能なのか？について

トレード 為替 数学 Python オリジナル プチ研究

問題提起

今も昔も為替取引が活発に行われている。しかし、その未来予測は困難とされており、実際ランダムウォークのようであるとも言われている。もし、仮に完全にランダムウォーク的であるならば、分儲けと損がそれぞれ50%の確率で起こり、手数料が引かれる分期待値は必ずマイナスとなるはずである。そこで、今回は日本円と米ドルの為替レートがランダムウォーク的かどうか検証してみることにした。

検証用元データ

検証用データは1日単位で、100日分のデータを以下のサイトから拝借した。

sec.himawari-group.co.jp

各日にちの最大値と最小値、およびその平均値をプロットすると次の図のようになる。

元データの為替の移り変わり

短期間データの標準偏差

まず各日にちについて、平均値を最大値と最小値から引き、日にちに関する平均と標準偏差を求めた。最大値と最小値で大差はなく、平均からのずれの平均が\pm 0.744程度で、標準偏差が0.387程度であった。

長期間の振る舞いがわかっている状況下での乱数によるずれ

元データの平均値から、平均値\pm 0.744、標準偏差0.387正規分布に従う正規分布を足したり引いたりして、少しだけ短期的な乱数の影響を入れて為替チャートを乱数を用いて再生成したのが次の図である。

平均値からのずれのみ乱数となっている為替チャート

この図を見る限り、実際の為替チャートと大きなずれはなく、上昇か下落かを当てる確率は約75%程度となる。

その場合の損益は手数料を２％としてもほとんどの場合黒字になる。

しかし、分布の平均的な長期の振る舞いを事前に知ることは困難なため、この例はあくまで、短期の予想に乱数が入った場合、どれほど影響が出るかを見ているに過ぎない。

 

長期の平均値の予想も乱数で生成してみた

5日ごとに平均値が変動するとして、正規分布で平均値０で分散が適当な(値により価格の振れ幅が変わる)乱数を生成し

長期的なふるまいをランダムウォーク的に決定し、それに短期間の乱数を加味したものをいくつか生成してみた。

例１：長期予想も乱数の場合

例２：長期予想も乱数の場合

例３：長期予想も乱数の場合

例４：長期予想も乱数の場合

例５：長期予想も乱数の場合

黒の線が現実のチャートで、緑とピンクの線がそれぞれ、乱数によって生成されたチャートである。特に例１は実際の為替チャートと酷似しており、為替チャートがある程度ランダムになりうることを強く示唆している。上昇、下降の当たる確率はおよそ１/2で、期待値はマイナスになる傾向が大きかった。

疑問

いくら乱数で生み出されたチャートが現実のチャートと酷似しているとはいえ、為替の取引を行っているのは人間もしくはアルゴリズムに従ったコンピューターである。そこには、なんらかの意思や傾向が含まれているはずであるのに、なぜ乱数で生成したチャートが実際のチャートと酷似してしまうのか疑問である。ひょっとすると、僕たちの目の錯覚や思い込みで実際により詳細にデータを分析すれば、乱数が生成したチャートと現実のチャートの違いを判定する方法が存在するのかもしれないが今のところ不明である。

一人ひとり異なるとはいえ、戦略をもって行われているはずの、大衆の意思決定の結果がランダムになりうるのか？この疑問を解決するには実際のチャートとランダムなチャートをより詳細に調べる数学的ツールが必要になってくると思われる。

 

プログラム

今回、検証に用いたプログラムを貼っておく。

github.com

gistf372e9769e151f617285828c3f8caed6

級数の極限値と総和法の関係について

2点総和法 多点総和法 数学 プチ研究

指数関数とパデ近似と極限

指数関数の級数展開でx \rightarrow \inftyの極限を考えてみよう。

exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}……①

パデ近似を用いて、関数列を生成すると、

[0/1],[1/2],[2/3],\cdots……②

[0/0],[1/1],[2/2],\cdots……③

[1/0],[2/1],[3/2],\cdots……④

などが考えらえる。ところが、①式の右辺の極限値を先にとると、級数の次数の増加に関係なく、②の場合は、z\rightarrow \inftyで明らかに０に収束し、④の場合は、z\rightarrow \inftyでは明らかに正の無限だいに発散する。

このように、級数の極限値をとるとき、どのような総和法を選択するかによって、値が変わってくるのだ。ちなみに、

lim_{x\rightarrow \infty} abs([n/n]) =lim_{x\rightarrow \infty}|(-1)^n|=1

となる。言いたいことは、指数関数という無限遠で明らかに発散しそうな関数でさえ、総和法の取り方次第で、極限値がかわってしまうのだ。それどころか多点総和法を用いれば、任意の値に収束させることができてしまう。

僕の今日書いた記事で、

 

sky-time-math.hatenablog.jp

 

総和法を問題点として提起して留まっているのもここに根本的な理由がある。級数と総和法の「自然な関係」とは一体なんなのだろうか？

 

SRWS理論を用いて、臨界指数を計算するための新しい道筋(未完)

オリジナル 局在 研究 臨界現象 数学

SRWS理論におけるグリーン関数の級数展開(t>lを仮定)

部分積分を用いれば、二項係数の和の問題をある程度回避できると気づいたのでメモ。

なお、viXraにあげてあるプレプリントで使っていた無限次元近似は、使っても使わなくても厳密に計算した場合と同じ結果を与えることがわかったので報告しておく。

この記事で紹介する方法は、プレプリントのマイナーアップデートである。

グリーン関数の級数展開は次の式で与えられる。

G(|x-y|,z) \simeq z^{|x-y|+1} \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n

A_xy=k^t t^{-d/2}

c_n =\sum_{t=|x-y|}^{|x-y|+n}A_{xy}(t)\left(\frac{2}{W}\right)^{t+1}\binom{n+|x-y|}{t}

積分近似と部分積分

総和公式を積分と合わせて近似する。

\sum_{t=|x-y|}^{|x-y|+n} (2k/W)^t\binom{n+|x-y|}{t}\simeq\sum_{t=0}^{|x-y|+n} (2k/W)^t\binom{n+|x-y|}{t}=(2k/W)^{n+|x-y|}

これを積分で近似して、

\int_{t=|x-y|}^{|x-y|+n} (2k/W)^t\binom{n+|x-y|}{t}\simeq (2k/W)^{n+|x-y|}

となる。部分積分を用いて、

c_n\simeq\frac{1}{W} \int_{t=|x-y|}^{|x-y|+n}t^{-d/2}\left( \frac{2k}{W} \right)^t \binom{n+|x-y|}{t}

=\left[ t^{-d/2}(2k/W)^t\right]_{t=|x-y|}^{t=n+|x-y|}+(d/2)\int_{t=|x-y|}^{|x-y|+n}t^{-d/2}\left( \frac{2k}{W} \right)^t

\simeq\left[ t^{-d/2}(2k/W)^t\right]_{t=|x-y|}^{t=n+|x-y|}+(d/2)\sum_{t=|x-y|}^{|x-y|+n}t^{-d/2}\left( \frac{2k}{W} \right)^t

nに依存する項だけを残すと、

c_n\simeq \frac{1}{W} [(n+|x-y|)^{-d/2}a^{n+|x-y|}]+(d/2)\Phi(a,d/2+1,n+|x-y|+1)

c_n\simeq \frac{1}{2k}a [(n+|x-y|)^{-d/2}a^{n+|x-y|}]+(d/2)\Phi(a,d/2+1,n+|x-y|+1)

ここで、Φはレルヒの超越関数であり、

a=\frac{2k}{W}

 

次にnに関する和

G(|x-y|,z) \simeq z^{|x-y|+1} \sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n

を、G(|x-y|,z)\propto z (z\rightarrow \infty)となるように総和を取らないといけないが方法は今のところ不明である。

c_nの第一項については、

G_1(|x-y|,z) \equiv z^{|x-y|+1} \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{1}{2k}a [(n+|x-y|)^{-d/2}a^{n+|x-y|}\ z^n

G(|x-y|,z) \propto za \sum_{n=0}^{\infty} (n+|x-y|)^{-d/2}(az)^{n+|x-y|}

G(|x-y|,z) \equiv za f_1(az)

G(|x-y|,z) \propto za 

なので、第一項は無視してよいことが分かる。

追記(2022/09/02):少し進展があった。詳細は以下の記事で。

 

sky-time-math.hatenablog.jp

 

2次方程式の複素数解とグラフの幾何学的関係

数学 高校数学

2次関数と2次方程式

2次関数

y=ax^2+bx+c

と2次方程式

ax^2+bx+c=0

を考える。2次方程式が実数解を持つとき、その解は、y=ax^2+bx+cとy=0の交点で与えられる。

それでは、複素数解を持つときはどうなるだろうか？

幾何学的に考察してみよう。

 

2次方程式の解の公式

2次方程式が実数解を持たないと仮定すると、

x=\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2} i }{2a}

一方y=ax^2+bx+cのグラフの頂点は、

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)bx+\frac{4ac-b^2}{4a}

より、\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a} \right)

となる。

さて、このようにして得られたグラフの頂点を、元のグラフの頂点と比べる。すると、ｘ座標は同じで、ｙ座標はいくらかずれている。そして、そのｘ座標は2次方程式の複素数解の実部に等しく、ｙ座標は2次方程式複素数解の虚部の定数倍に等しい。

このようにして、2次方程式の複素数解と元のグラフとの関係が得られた。

実数解の場合グラフの軸から等距離にｘ軸方向に等距離にずれた位置の点に解があった。複素数解の場合、グラフの頂点からy軸方向にｘ軸から上下に等距離ずれた位置の点に対応する解がある。

このように実数解の場合も複素数解の場合も、ｘ軸上のある点から等距離ずれた場所に２つの解に対応する点があることが分かった。

BSD予想の研究者になるにはどうすればいいのでしょうか？

BSD予想 数学 数論 楕円曲線

BSD予想

バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想 - Wikipediaの主張を精確に理解し、いつか(できれば10年以内に)研究をしたいと思っています。

現状

現在楕円曲線について知っていることを手短に自分でまとめた動画がこちら。

www.youtube.com

僕は物理学(物性理論)の出身で、一応博士号を持っていますが、数学科の大学数学は完全に独学です。

現在は代数学の基礎(群・環・体、ガロア理論)の概要を一周勉強し終えて、山本芳彦先生の数論入門を読んでいます。

 

数論入門 (現代数学への入門)

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今後の予定

山本先生の本が終わったら、初等整数論講義(高木)を読む予定です。

 

初等整数論講義 第2版

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平行して気分転換に、複素関数論と位相空間論、多様体論の勉強もしようと思っています。それぞれ以下の本で勉強予定です。

 

複素関数入門 (現代数学への入門)

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はじめよう位相空間

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基礎数学5多様体の基礎

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次に、雪江整数論123を読む。

 

整数論1: 初等整数論からp進数へ

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そして、次の本を読む。

 

数論 I　Fermatの夢と類体論

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数論II　岩澤理論と保型形式

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その後、読みかけだったElliptic talesにもう一度チャレンジする。

 

Elliptic Tales: Curves, Counting, and Number Theory

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その後、定番と言われているシルヴァーマン・テイトの楕円曲線論入門を読む予定です。

 

楕円曲線論入門

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追記：次の本もよさそうだったので追加。

 

楕円曲線と保型形式

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The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics) by Joseph H. Silverman(2010-11-19)

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Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics, 151)

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足りないものとここから先のルート

ここまでの勉強ルートでこれも読んだ方がいいよというものがあったら教えていただきたいです。

下の２つのツイートが気になっていて、どれがBSD予想の研究に特に必要で、それぞれここに書かれていないお勧めの本などあれば知りたいです。

上の文献紹介で挙げられている本で、僕の勉強ルートに入っていない本があります。それらの本も読んだ方がいいのか、またどのタイミングで読むべきかなど、意見交換したいです。

 

最後に、上のことが全部終わった後どのように勉強していけばいいのかよくわかっていません。読むべき本とか(特に洋書は詳しくないので知りたい)論文とか大学院に行くべきとかなにかアドバイスあればいただきたいです。

 

その他リンク(pdfなど)

楕円曲線と岩澤理論

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%96%E5%9B%9E/6_5.pdf

http://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/Bin/Reports/matsuno.pdf

楕円曲線と数論幾何

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf

x^2+y^2≡z^2 (mod p^e)の解の個数

数論 数学 プチ研究 オリジナル

x^2+y^2\equiv z^2 (\mod p)の解の個数

以下の文献によると、

https://math.mit.edu/research/highschool/primes/circle/documents/2020/Shleifer_Su_2020.pdf

この問題の\mod pでの解の個数は、p^2個となる。

この文献を参考に一般化を試みる。

x^2+y^2\equiv z^2 (\mod p^e)の解の個数

以下、上記の参考文献と並行して話を進める。以下、証明は全て完成していなくて、数値実験からの予測を一部含む。

e\ge 2とする。

このとき、

x^2+y^2\equiv 0 (\mod p^e)の解の個数は、

(p^e-1)\left(1+\left(\frac{-1}{p^e}\right)\right)+1

=p^e+(p^e-1)\left(\frac{-1}{p^e}\right)

次に、x^2+y^2\equiv k^2の解の個数は、

\sum_{y=0}^{p^e-1}1+\left(\frac{k^2-y^2}{p^e}\right)

=p^e+\left(\frac{-1}{p^e}\right)\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+2k}{p^e}\right)

=p^e+\left(\frac{-1}{p^e}\right)\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)

ここで、a\not\equiv 0 (\mod p)のとき、数値実験により、

\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)=(-1)^ep^{e-1}

また、a\equiv 0 (\mod p)のとき、数値実験により、

\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)= \alpha p^{e-1}

ここで、\alphaはp未満の素数の積でpを超えない*1。

追記：山田先生(@tyamada1093)にalpha=p-1になっていることを教えてもらいました。お礼申し上げます。

よって、

\sum_{a=1}^{p^e-1}\sum_{y'=0}^{p^e-1}\left(\frac{y'}{p^e}\right)\left(\frac{y'+a}{p^e}\right)=\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-p^{e-1}+1)(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})

後はこれらを全て足し合わせればいい。

\sum_{y=0}^{p^e-1}1+\left(\frac{k^2-y^2}{p^e}\right)

=p^{e}+(p^e-1)\left(\frac{-1}{p^e}\right)+(p^e-1)p^e

+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})

=p^{2e}+(p^e-1)\left(\frac{-1}{p^e}\right)

+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)2p^{e-1})

=p^{2e}+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-1)+(p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})

=p^{2e}+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((p^e-1)+(p^e-p^{e-1})(-1)^ep^{e-1}+(p^{e-1}-1)\alpha p^{e-1})

\alpha=p-1を代入して整理すると、

=p^{2e}+\left(\frac{-1}{p^e}\right)((1+(-1)^e)p^{2e-1}-(1+(-1)^e)p^{2e-2}+p^{e-1}-1)

nが指数が2乗以上の素因数を持つかの場合分け

x^2+y^2\equiv z^2(\mod n)の解の個数がちょうどn^2になるのは、nを素因数分解したとき、素数の1乗の積のみからなる場合だけになる(中国式剰余定理より)。

 

 

 

 

*1:\alphaは2,3,5,6などの値を取ることを確認済みでその振る舞いは複雑に思える。

【証明】p+q=rのとき、√p+√q≡√r(mod n)ならば、n=2qとなること

数論 数学 オリジナル プチ研究

問題

前回の記事で、予想を立てた。

 

sky-time-math.hatenablog.jp

これをn\gt 2の場合に証明できたので*1、この記事で以下に書く。

n=2qとなることの証明

\sqrt{2}+\sqrt{q}\equiv \sqrt{r}\equiv \sqrt{2+q} (\mod n)

両辺を二乗して、

2+q+2\sqrt{2q}\equiv 2+q (\mod n)

2\sqrt{2q}\equiv 0 (\mod n)

よって、2\sqrt{2q}はnの倍数。

また、

x^2\equiv 2 (\mod n)

となるxが存在するので、ヤコビ記号の相互法則(第２補充法則)より、

nは偶数または、n=8k\pm 1と表される*2。

(1)n=8k\pm 1の場合、

2\sqrt{2q}\equiv 0 (\mod n)

8q\equiv 0 (\mod n)

となるが、

0 \lt q\lt n \Rightarrow 0 \lt 8q\lt 8n

である。また、ある自然数lが存在して、

8q=ln

8q=l(8k \pm 1)=8kl \pm l

8(q-kl)=\pm l

従って、lは8の倍数である。

ここで、l=8sとおくと、

8q=8sn\Rightarrow q=sn

となり、q\lt nなので、s=qでなければならず、これよりn=1が得られて、前提に矛盾する。

(2)nが偶数の場合、

n=2mとおくと、

2\sqrt{2q}\equiv 0 (\mod n)

2q\equiv 0 (\mod m)

ここで、q\lt n\Rightarrow 0\lt 2q \lt 2n=4mなので、

2q=m,2m,3mしかありえない。

従って、

①q=3,m=2

②m=2q

③m=q

のいずれかである。①は\sqrt{2}+\sqrt{3}\equiv\sqrt{5} (\mod 2)の場合である。

②のときn=4q、③のとき、n=2qである。

k=1,2として、

y^2\equiv 2 (\mod 2^k q)

y^2-2\equiv 0  (\mod 2^k q)

ある自然数sが存在して、

y^2-2 =2^k q s

ある自然数zが存在して、y=2z

4z^2-2=2^k q s

2z^2-1=2^{k-1} q s

ここで、k=2とすると、

2z^2-2qs=1

となり矛盾。よって、k=1。すなわち、n=2qが示された。

 

p=2,q=3,r=5のとき、n=2のみが解であること

n=6が可能性として残っているので、その場合について触れておく。

x^2\equiv 2 (\mod 6)となる整数xは存在しない。よって、p=2,q=3,r=5の場合の解は、n=2のみである。

 

*1:n=2の場合も取り扱う。

*2:数論入門[山本義彦]p100参照