流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

数学オリンピック

【別解】2009ウクライナ数学オリンピックを解いてみた

2009ウクライナ数学オリンピック 今日もtwitterで見かけた問題を解いてみた。最近、平方数にこっているので目についたのが次の問題だ。 素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック) — 整数問題…

一般化されたマスターデーモンの解のリスト

一般化されたマスターデーモン 今回扱う一般化されたマスターデーモンは次の問題である。 自然数に対して、 が自然数となうるようなを全て求めよ。このような解の集合を以後、 と書くことにする。 は解なしという意味である。*1今回公開する解のリストは、計…

2009スペイン数学オリンピック

2009スペイン数学オリンピック twitterで見かけた以下の問題を解いてみた。たまには簡単めの問題を解くのもいいだろう。 整数の組(x,y)であって,x^2-y^4=2009を満たすようなものを全て求めよ.(2009 スペイン数学オリンピック) — 整数問題bot② (@handmade_mat…

1997南アフリカ数学オリンピックの問題を解いてみた。

1997南アフリカ数学オリンピック たまには簡単めのこんな問題を解いてみました。方針は、ひたすらmodをとるだけです。 0以上の整数の組(x,y)であって,1+3^x=2^yを満たすようなものを全て求めよ.(1997 南アフリカ数学オリンピック) — 整数問題bot② (@handmade…

2009JMO本選1を解いてみた

追記(2019/08/25):(4)式を少し修正しました。 2019JMO本選1 どうも「おはようございます」すると、「とある自然数を全て求めなければいけない」呪いにかかったようなので、以下の問題を解く。 [15]8ⁿ+nが2ⁿ+nの倍数となるような自然数nをすべて求めよ(2009…

1994トルコ数学オリンピックを解いてみた

1994トルコ数学オリンピック 最近twitterで「おはようございます。」すると、すぐ近くで「全て求めよ」って返ってくる呪いにかかったらしいFoxQです。というわけで今日のお題は、次の問題です。 正の整数の組(s,t)であって,t^2+1=s(s+1)を満たすようなものを…

2013インド数学オリンピックを解いてみた

追記(2019/08/24):(10)式の第1因子からとしたところに、証明の飛躍があったので修正しました。 2013インド数学オリンピック 今日はtwitterで見かけた以下の問題を解いていた。 正の整数m,nと5以上の素数pであって, m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)を満たすようなもの…

【twitter】ウクライナ数学オリンピック2009を解いてみた【数学オリンピック】

ウクライナ数学オリンピック2009 twitterで見かけた問題を解いてみた。よくある「~を満たすものを全て求めよ。」系の次の問題である。 素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック) — 整数問題…

【解の構成方法】マスターデーモンの一般化

マスターデーモンの一般化 今回の記事では、マスターデーモンの一般化について考える。「自然数rが与えられたとき、2以上ので……(1)が整数となるものを全て求めよ。」 結論から言うと、(1)式が整数になるような任意のを構成するアルゴリズムを求めることはで…

マスターデーモンがついに解けました

追記(2018/07/25):計算ミスがあり、証明も冗長だったので、少し修正しました。 マスターデーモン マスターデーモンとは、1990年IMO中国大会の第3問で出題された次の問題である。 「2以上の自然数で……(1)が整数となるものを全て求めよ。」 この問題、かなり前…

【IMO2017】国際数学オリンピックの問題2【解答・解説】

2017年国際数学オリンピック(IMO2017)の問題2 前回に引き続き、問題2に挑戦してみた。問題は、次の通り。(http://www.imojp.org/challenge/から引用。) を実数全体からなる集合とする。関数であって、任意の実数に対してが成り立つものをすべて求めよ。 今…

【IMO2017】2017年国際数学オリンピックの問題1【解答・解説】

2017年国際数学オリンピック(IMO2017)の問題1 なんとなく数学オリンピックの今年の問題を解いてみたくなったので挑戦してみた。問題は、数学オリンピック財団のサイト(http://www.imojp.org/challenge/)を参照しました。今回は、問題1の解答と解説をしてい…

マスターデーモンの一般化、解の個数を調べてみた。

追記:証明に間違いがあるのに気づいたので、修正が必要です。 追記(2018/07/28):一般化されたマスターデーモンの解を与えるアルゴリズムができました。興味がある方は以下の記事を参考にしてください。 sky-time-math.hatenablog.jp はじめに 前回の記事で…

マスターデーモンを解いてみたら、超短くて簡単な解答を見つけた話。

追記:証明に間違いがあるのに気づいたので、いくらか修正が必要です。 追記(2018/07/23):やっと自分なりの方法で解けたので、解答は次の記事を見てください。 sky-time-math.hatenablog.jp 追記(2018/07/28):一般化されたマスターデーモンの解を与えるアル…