流れる空の中で数学を。

とある数学好きの「手作りすうがく」と「気ままな雑記」。

数学

ディオファントス近似のプログラムを書いてみた【tan1°を有理数で近似する試み】

ディオファントス近似 ディオファントス近似とは、ざっくり言うと無理数を有理数で近似する方法である。*1例えば、円周率については、 等がある。 プログラム プログラムを書くにあたって、はじめての数論31章と下記のサイトを参考にしました。ありがとうご…

2012年第二回東大オープン3を解いてみた

2019/09/19追記:みをつくしさんが間違いを指摘してくれたので、修正しました。ありがとうございました。 2012年第二回東大オープン3 今日は本を読む気がなかなかおきなくて数学できていないので、twitterの数学をしました。 [53]p,qを素数、nを正の整数とす…

整数問題bot②の自作問題を解いてみた1

整数問題bot②の自作問題 今回もtwitterで見かけた以下の問題を解いてみた。なかなか手ごわい問題だった。 p^n-1=m^5+m^4を満たす素数p,および正の整数m,nを全て求めよ.(自作) — 整数問題bot② (@handmade_math) September 12, 2019 解答 問題は、 ……(1.1) を…

【別解】2009ウクライナ数学オリンピックを解いてみた

2009ウクライナ数学オリンピック 今日もtwitterで見かけた問題を解いてみた。最近、平方数にこっているので目についたのが次の問題だ。 素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック) — 整数問題…

FoxQの予想の部分的証明([tex:s=2p^2,t=q^2]で[tex:p,q]が互いに素な奇素数の場合 )

原始ピタゴラス数 原始ピタゴラス数は、互いに素な自然数で、偶奇が異なるものを用いて、 ……(1.1) で全て表される。今回は、,,は互いに素な奇素数と表されるとき、何が言えるか検証してみたので、成果を報告する。 法を4としたとき FoxQの予想は次のものであ…

FoxQの予想の部分的証明([tex:s=2p^2,t=1]で[tex:p]が奇素数の場合 )

原始ピタゴラス数 原始ピタゴラス数は、互いに素な自然数で、偶奇が異なるものを用いて、 ……(1.1) で全て表される。今回は、,は奇素数、と表されるとき、何が言えるか検証してみたので、成果を報告する。 法を4としたとき FoxQの予想は次のものである。 が平…

【FoxQの予想の検証】「原子ピタゴラス数の冪乗和が平方数になるか?」問題

原子ピタゴラス数の冪乗和が平方数になるか? 原始ピタゴラス数は、互いに素な自然数で、偶奇が異なるものを用いて、 で全て表される。前回の記事で、 原始ピタゴラス数の内、小さい2つをとする。このとき、が平方数になるような自然数を求めよという問題を…

原始ピタゴラス数の冪乗和が平方数になるのは?

FoxQからの出題第2回 事の始まりは、以下の私が作った問題である。 [FoxQからの出題2]8^a+15^bが平方数になるような0以上の整数の組(a,b)を全て求めよ。(正から0以上に修正しました。) — FoxQ@固定ツイにてすうがく徒のつどいのアンケート実施中 (@foxq_stm)…

2012マケドニアTSTの問題を解いてみた

2012マケドニアTST 今日もtwitterで見かけた問題を解いてみた。以下の問題である。 素数の組(p,q)であって,(p+q)^p=(q-p)^(2q-1)を満たすようなものを全て求めよ.(2012 マケドニア TST) — 整数問題bot② (@handmade_math) August 29, 2019 この問題、いかにも…

一般化されたマスターデーモンの解のリスト

一般化されたマスターデーモン 今回扱う一般化されたマスターデーモンは次の問題である。 自然数に対して、 が自然数となうるようなを全て求めよ。このような解の集合を以後、 と書くことにする。 は解なしという意味である。*1今回公開する解のリストは、計…

【第1回】FoxQからの出題第1回の解答【2019/08/25出題】

FoxQからの出題(第1回) twitterにて2019/08/25に出題した以下の問題の解答例をあげます。 [FoxQからの出題]19の倍数でない自然数n≧2に対して、(8^n+1)/n^3が自然数となるようなnを全て求めよ。 pic.twitter.com/vE4V8hLbQd — FoxQ@固定ツイにて数学問題出題…

2009スペイン数学オリンピック

2009スペイン数学オリンピック twitterで見かけた以下の問題を解いてみた。たまには簡単めの問題を解くのもいいだろう。 整数の組(x,y)であって,x^2-y^4=2009を満たすようなものを全て求めよ.(2009 スペイン数学オリンピック) — 整数問題bot② (@handmade_mat…

1997南アフリカ数学オリンピックの問題を解いてみた。

1997南アフリカ数学オリンピック たまには簡単めのこんな問題を解いてみました。方針は、ひたすらmodをとるだけです。 0以上の整数の組(x,y)であって,1+3^x=2^yを満たすようなものを全て求めよ.(1997 南アフリカ数学オリンピック) — 整数問題bot② (@handmade…

整数問題botの自作問題を解いてみた1

整数問題botの自作問題 昨日見かけた問題を解いてみた。難易度、易とあるがとてもそうは思えない、歯ごたえのある問題だった。ひょっとすると、別の解法があるのかも。 [136]5^a+12^b=13^cを満たす正の整数(a,b,c)の組を求めよ(自作問題、易) — 整数問題bo…

2009JMO本選1を解いてみた

追記(2019/08/25):(4)式を少し修正しました。 2019JMO本選1 どうも「おはようございます」すると、「とある自然数を全て求めなければいけない」呪いにかかったようなので、以下の問題を解く。 [15]8ⁿ+nが2ⁿ+nの倍数となるような自然数nをすべて求めよ(2009…

1994トルコ数学オリンピックを解いてみた

1994トルコ数学オリンピック 最近twitterで「おはようございます。」すると、すぐ近くで「全て求めよ」って返ってくる呪いにかかったらしいFoxQです。というわけで今日のお題は、次の問題です。 正の整数の組(s,t)であって,t^2+1=s(s+1)を満たすようなものを…

2013インド数学オリンピックを解いてみた

追記(2019/08/24):(10)式の第1因子からとしたところに、証明の飛躍があったので修正しました。 2013インド数学オリンピック 今日はtwitterで見かけた以下の問題を解いていた。 正の整数m,nと5以上の素数pであって, m(4m^2+m+12)=3(p^n-1)を満たすようなもの…

【twitter】ウクライナ数学オリンピック2009を解いてみた【数学オリンピック】

ウクライナ数学オリンピック2009 twitterで見かけた問題を解いてみた。よくある「~を満たすものを全て求めよ。」系の次の問題である。 素数pと正の整数mであって,2p^2+p+9=m^2を満たすようなものを全て求めよ.(2009 ウクライナ数学オリンピック) — 整数問題…

【リーマン予想】約数関数を計算してみた

約数関数 自然数に対して、約数関数は次のように定義される。 ……① つまり、の全ての約数の乗の総和である。詳しくは、約数関数 - Wikipediaを参照。を特に、と書く。 リーマン予想と約数関数 wikiによると、この約数関数が次の不等式を満たすとき、リーマン…

合成数へ一般化されたウラムの螺旋

ウラムの螺旋の一般化 前回、ウラムの螺旋を描くプログラムを書いたので、それをちょっとだけ改造して何か面白いことができないかと思った。 sky-time-math.hatenablog.jp そこで、ウラムの螺旋を一般化してみることにした。つまり、素数の点だけをプロット…

【クリスマス】ウラムの螺旋描いてみた

ウラムの螺旋 ウラムの螺旋とは、自然数の螺旋上に並べ素数だけを塗りつぶしたものである。詳しくは、ウラムの螺旋 - Wikipediaを参照。今回描くウラムの螺旋は、数学ガールの秘密ノート整数で遊ぼうを参考にして、0から始まるものにしてある。 数学ガールの…

【近似解の見直し】ぺるせんたげさんの数学コンテスト【問Ⅱ】

ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅱの解と近似解 ぺるせんたげさん(@percentage011)が前回取り上げた問題の答えを公開してくれた。 数学コンテストのⅡ問目の解答例です間違いがあったら教えてください pic.twitter.com/MAfYZtIcwE — ぺるせんたげ@数学コ…

【問Ⅱ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト【近似解】

ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅱ 今回はぺるせんたげさん(@percentage011)の数学コンテストの問Ⅱの「近似解」を作ったので、それを紹介したいと思います。問題文は、以下のツイートを参照してください。 数学コンテストを開催します!以下の問題を考…

【問Ⅰ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト

追記(2018/10/31):解法は本質的に変わりませんが、(5)式まわりを微妙に修正しました()。 ぺるせんたげさんの数学コンテストの問Ⅰ 今回も前回に引き続き、ぺるせんたげさん(@percentage011)の数学コンテストの問Ⅰを解いていきたいと思います。 数学コンテスト…

【問Ⅲ】ぺるせんたげさんの数学コンテスト

ぺるせんたげさんの数学コンテスト ぺるせんたげさん(@percentage011)がtwitterで数学コンテストを開催していたので、昨日の夜から問題に挑戦していた。問題の詳細は以下のツイートをチェックしてください。 数学コンテストを開催します!以下の問題を考えて…

ランダムな係数の多項式の零点分布

多項式の零点~指数・対数関数からランダム多項式へ~ 以前、指数関数と対数関数を多項式で近似したときの零点の分布を調べたことがある。 sky-time-math.hatenablog.jp sky-time-math.hatenablog.jp そこで使ったプログラムを使って何か面白いことができない…

【修正版】3が合同数でないことの初等的証明

追記(2018/10/13):(10)式で計算ミスをしており、ではなく、でした。そのため、原始ピタゴラス数の3つ組がとなり、不等式の評価で矛盾を導けなくなってしまいました。いつかうまくいったら、更新します。 前回の失敗から 前回の記事では、3が合同数でないこ…

3が合同数でないことの初等的証明

追記(2018/10/07):(14)式から(15)式に移るのに飛躍があったので、証明には修正が必要なようです。うまくいったら、また更新します。 合同数とは 直角三角形の斜辺を、その他2つの斜辺をとする。このとき、が全て有理数で、かつ、その直角三角形の面積が自然…

対数関数を多項式で近似したときの零点の話【無限乗積展開!?】

対数関数のテイラー展開と多項式近似 前回の記事で指数関数を多項式で近似した場合に零点がどのように分布するのかについて調べた。 sky-time-math.hatenablog.jp 指数関数を調べたついでに対数関数の場合も調べてみようと思ったので、やってみた、というの…

exp(x)を多項式で近似したときの零点の話

twitterで見かけた指数関数の話 twitterでtsujimotterさんが、指数関数について以下のようなツイートをしていた。 ふと思った疑問。指数関数のテイラー展開って、有限項で打ち切った多項式の零点と指数関数の零点ってどういう関係になっているだろう。 — tsu…